Парадокс Ахиллеса и черепахи: значение, расшифровка понятия

Комментаторы выше уже объяснили парадокс Ахиллеса и черепахи, т.е. Ахиллес не может догнать черепаху (видимо, ниндзя, она даже Ахиллеса может перегнать), так как Ахиллесу предстоит пробежать полпути до черепахи, затем полпути полпути до черепахи, а потом полпути полпути полпути до черепахи и так далее (надеюсь, объяснил понятно), то есть Ахиллес не может догнать черепаху.

Но дело в том, что данный парадокс все-таки имеет конец. До тех пор, пока Ахиллес догоняет черепаху, то дойдет до того, что между ними будет расстояние в два атома, спустя время и один атом, НО как мы знаем из курса школьной программы (Святослав, 15 лет), атом – это неделимая частица. То есть Ахиллесу не остается другого выбора, как просто пробежать и этот атом, а затем и догнать (вследствие чего перегнать) быструю черепаху.

Предлагаю также посмотреть видос на эту тему (с озвучкой проблемы, согласен, главное уловить смысл): Я эксперт, закончил девять классов, мне можно доверять)))

Смею предположить, что Зенону просто было неизвестно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна конечному числу. Представим некое расстояние как отрезок, равный 1. Черепаха находится в середине отрезка, то есть прошла 1/2.

Ахилл же только начинает свой путь и находится в самом начале. Затем Ахилл проходит 1/2, а черепаха 1/2 + 1/4, Ахилл проходит 1/2 + 1/4, а черепаха 1/2 + 1/4 + 1/8 и т. д.

В итоге получаем, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+. . .

= конечное число, а именно 1. В конце концов и Ахилл и черепаха пройдут расстояние = 1 и они сравняются.

Жил в Др. Греции весёлый малый Зенон (пр. 500 лет до н.

э. ). Развлекался он, придумывая различные парадоксальные ситуации и рассуждения о разных физических процессах и понятиях, называемые апориями.

Одна из девяти сохранившихся и есть “Ахиллес и черепаха”  Смысл её в том, что пока Ахиллес пробегает сто метров, которые отделяют его от черепахи, черепаха проползёт 10 метров. Пока Ахиллес пробегает эти 10м. , черепаха проползёт 1м.

Ахиллес – 1м, черепаха 10см. И так бесконечно. То есть, Ахиллес никогда не догонит черепаху, всегда между ними будет сохраняться какое-то микроскопическое расстояние.

Ошибка (сознательно допускаемая в рассуждениях Зенона), в том, что ни движение, ни объекты не делятся, тем более бесконечно. Нельзя рассматривать Ахиллеса, как абстрактную точку. Черепаху тоже.

Парадокс черепахи Этот парадокс был придуман древнегреческим философом Зеноном. Суть его такова: предположим, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи и находится за 1000 шагов от неё. Пока Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха проползёт ещё 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползёт ещё 10 шагов, и так до бесконечности. В итоге Ахиллес так и не догонит черепаху. Естественно все мы понимаем, что в реальной жизни он бы её наверняка и догнал, и перегнал.

Парадокс можно объяснить тем, что в реальности пространство и время нельзя делить бесконечно.

Ахилле́с и черепа́ха — одна из апорий древнегреческого философа Зенона.

Содержание

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Образ Ахиллеса (Ахилла) в апории взят из «Илиады», где герой Ахиллес неоднократно именуется «быстроногим». Сюжет апории напоминает безуспешную погоню Ахилла за Гектором (глава 22):

  188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно.         Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.<…>   199. Словно во сне человек изловить человека не может,         Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно,-         Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.

Диоген Лаэртский считал автором этой знаменитой апории Парменида, учителя Зенона[1]. Черепаха как персонаж вставлена комментатором, в тексте апории, приведенном в «Физике» Аристотеля, быстроногий Ахиллес догоняет другого бегуна.

[custom_ads_shortcode1]

Разрешение апории

Одно из возможных объяснений парадокса: ложность представления о бесконечной делимости расстояния и времени. См. подробнее современная трактовка.

[custom_ads_shortcode2]

Апория в литературе и искусстве

Льюис Кэрролл написал диалог с логическими загадками под названием «Что Черепаха сказала Ахиллесу?»[2].

Лев Толстой в III томе эпопеи «Война и мир» (начало 3-й части) пересказывает парадокс про Ахиллеса и черепаху и предлагает своё толкование: нельзя разделять непрерывное движение на «отдельные единицы» (вероятно, имеются в виду точки). Далее Толстой, по аналогии, рассуждает о роли отдельной личности в истории.

Поль Валери в поэме «Кладбище у моря» (Le Cimetiere Marin, 1920) писал[3]:

None Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса. Парадоксальная ситуация, описанная в ней, отражена в юмористических стихах и даже в анекдотах[4].

None Указанные персонажи встречаются в Диалогах книги Дугласа Хофштадтера «Гедель, Эшер, Бах — эта бесконечная гирлянда».

В 2003 году поэт, эссеист и журналист Линор Горалик написала произведение «Ахилл говорит черепахе», позже опубликованное в «Книге одиночеств» Макса Фрая[5].

[custom_ads_shortcode3]

Шуточные стихи

И куда же ты полез,     Ахиллес? Говорил: “Вон ту фигню?     Догоню!

” Никому, едрёна мать,     не поймать философских черепах     в черепах. —— Евгений Лукин[6]Ахилл бежал, а черепаха Влекла его к земному краю. Герой подумал не без страха: «Я что-то тут не догоняю!

[custom_ads_shortcode1]

Примечания

Зенон Элейский (V в. до н. э.) приводит четыре опровержения движения, основанные на возможности бесконечной делимости пространства и времени. Одно из этих опровержений получило название «Ахиллес и черепаха». Лучший бегун Греции Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху после того, как она отползет от линии старта на некоторое расстояние в направлении финиша, потому что «преследующему необходимо прежде всего прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то расстояние опережать преследующего» (Аристотель. Сочинения). Парадокс допускает две интерпретации. Во-первых, Зенон мог иметь в виду, что Ахиллес должен сначала преодолеть половину расстояния между собой и уползающей черепахой, затем четверть оставшегося расстояния, затем его восьмую часть и до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху в конечное время. Такое заключение является парадоксальным. Во-вторых, Зенон мог иметь в виду, что прежде чем Ахиллес достигнет половины пути между собой и черепахой, он должен преодолеть его четверть, а для этого он должен пробежать его восьмую часть и так далее до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес не сможет даже начать движение в конечное время. Данное заключение, соответствующее апории Зенона «Дихотомия», также парадоксально. Обе интерпретации допускают обобщение: «Ни одно движение не может быть закончено в конечное время» и «Ни одно движение не может быть начато в конечное время». Нетрудно увидеть, что эти два обобщения эквивалентны. Если истинно первое, то всегда истинно второе; а если истинно второе, то необходимо истинно и первое. Значит, каждая из интерпретаций является необходимым следствием другой, и они эквивалентны друг другу. Доказательство Зенона символизирует следующее умозаключение. Движение либо возможно, либо невозможно.              (1) Если движение возможно, тогда Ахиллес может пробежать бесконечное число непрерывно уменьшающихся отрезков за конечное время. Ахиллес не может пробежать бесконечное число непрерывно уменьшающихся отрезков за конечное время, так как движение не может начаться или, что то же самое, никогда не может закончиться в конечное время. Значит, движение невозможно. Умозаключение (1) общезначимо, т. е. заключение следует из указанных посылок. Но оно противоречит обыденному и научному опыту. Значит, причина парадокса в недостоверности по крайней мере одной из его посылок. Первая посылка указывает альтернативы доказательства. Список альтернатив удовлетворяет требованию полноты. Значит, первая посылка истинна. Вторая посылка также истинна, так как при допущении возможности движения предел суммы s(1/2 + 1/4 + … + 1/2″), где n ^ и s — конечное расстояние, равен s. Сомнение может вызывать только третья посылка. Основные доводы против истинности этой посылки были высказаны Аристотелем. Согласно Аристотелю, «…ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно пройти бесконечное множество предметов или коснуться каждого из них в конечное время» (Аристотель. Сочинения), потому что «бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечного в отношении деления можно, так как само время бесконечно именно в таком смысле» (Там же). Делимость времени прямо пропорциональна делимости расстояния. Это очевидно при рассмотрении равномерного движения. Ведь в этом случае «все движение будет проделано во столько равных промежутков времени, сколько таких частей (расстояния. — В. С.) будет в целом» и, следовательно, «всякое тело, движущееся с равной скоростью, необходимо проходит конечное расстояние в конечное время» (Там же). Ложность третьей посылки разрушает доказательство Зенона, т. е. лишает умозаключение (1) всякой логической силы. Следующая простая модель позволяет предсказывать, когда именно Ахиллес догонит черепаху. Пусть s обозначает расстояние, которое Ахиллесу необходимо пробежать, чтобы догнать черепаху, t — время, которое ему необходимо на это потратить. Из курса школьной физики известно, что они связаны следующим уравнением: v = s/t.              (2)

Допустим, скорость Ахиллеса равна vА = 10 м/с, скорость черепахи vq = 0,1 м/с; скорости обоих бегунов постоянны, и Ахиллес стартует, как только она отползет на 99 м.

Значит, s0 = 99 м. При этих условиях Ахиллес догонит черепаху ровно через 10 с.
Значит, Ахиллес, бегущий с постоянной скоростью 10 м/с, догонит черепаху, уползающую от него с постоянной скоростью 0,1 м/с, ровно через 10 с после того, как преодолеет 100 м. Подставляя в (3) конкретные значения, получаем для первых трех отрезков времени: Т = 9,9 с [1 + 0,01 + 0, 0001] = 9,9 с + 0,099 с + 0,00099 с = 9,99999 с. Полученное значение является очень хорошим приближением к 10 с, полученным ранее. Соответственно общее расстояние, которое Ахиллес должен будет преодолеть в указанные временные интервалы, равно сумме пространственных отрезков: S = 99 м + 0,99 м + 0,0099 м = 99,9999 м, что тоже является хорошим приближением к расчетному значению 100 м. Итак, данный парадокс разрешается, только если деление (прохождение) пространства обусловлено делимостью времени. Их отношение дает нам производную, называемую скоростью. Решение парадокса «Летящая стрела» Другое не менее известное опровержение возможности движения представляет апория Зенона «Летящая стрела». «Если всегда — говорит он (Зенон. — В. С.) — всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент “теперь” всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна». (Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т 3. — М., 1981. С. 199.) Содержание апории выражает следующее умозаключение. Движение либо возможно, либо невозможно.              (4) В каждый момент времени «теперь» летящая стрела занимает место, равное своей длине. Если в каждый момент времени «теперь» полета стрела занимает место, равное своей длине, она покоится. Значит, летящая стрела покоится, что абсурдно. Поэтому движение невозможно. Заключение (4) следует из приведенных посылок, но не доказывается ими. Причина — ложность второй посылки. Доказательство Допустим, расстояние, которое пролетает стрела, равно 50 м, длина стрелы l равна 1 м. Все расстояние s, пролетаемое стрелой, равно сумме пятидесяти отрезков длиной 1 м: s = 50 l. Вторая посылка утверждает, что на каждом отрезке полета s. (i = 1, 2, …, 50), равном собственной длине l, стрела покоится, т. е. ее скорость равна нулю, v = 0. Это равносильно утверждению истинности следующих утверждений: Если s1 = l, то v = 0; Если s2 = l, то v = 0; Если s3 = l, то v = 0; Если s50 = l, то v = 0. Из условия второй посылки и начальных допущений следует, что стрела движется и ее длина больше нуля. Значит, антецедент (условие) каждого утверждения Зенона ложен, так как st = l gt; 0 и t gt; 0 для всех i (рассматриваемых отрезков). Из этого следует, что каждый отрезок дистанции полета s. (i = 1, 2, …, 50) включает не только длину стрелы, но и расстояние, которое она преодолевает в соответствующий промежуток времени. Это означает, что антецеденты зеноновских утверждений должны быть модифицированы следующим образом.

Данный парадокс разрешается, только если принимается во внимание, что каждое «здесь» летящей стрелы включает не только ее длину, но и все расстояние, которое она преодолевает в рассматриваемый отрезок времени «теперь». Движение как бы увеличивает место, занимаемой стрелой, на величину, пропорциональную ее скорости. Поэтому нет никакого противоречия в известном утверждении Гегеля, что «двигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, — следовательно, находиться в обоих местах одновременно». (Гегель Г. В. Ф. Лекции по истории философии. Кн 1. — СПб., 1993. С. 282.)

Из сказанного следует, что в каждый момент времени полета s. (i = 1, 2, …, 50) стрела действительно занимает место, равное своей длине, но так как она движется с ненулевой скоростью, то пролетаемое ею расстояние всегда больше ее длины. Приведенные расчеты не зависят от фактической длины стрелы. Требуется только, чтобы она не была равна нулю.

Источник: Светлов В.. Философия: Учебное пособие. 2011

Источники:

Ссылка на основную публикацию